等号的另一端可能是声音

普罗米修斯将火带到人间，从此人类无需在黑暗中度过无穷长夜，进入光明与文明的新纪元。而声学之父克拉尼（Ernst Chladni）的声音图形也如同一枚火种，微光成炬、烈焰燎原，带给现代物理学、生理医学、哲学、建筑声学、音乐理论、乐器制造、数学、音流学等诸多领域新的研究视角和方法论的启发。

在往期文章中，我们讲过克拉尼在声学领域的重要发现：当声学之父遇到一代枭雄，月光共振了琴弦的两端 。本期 as 将为您介绍克拉尼图形（Chladni figure）在数学领域引发的共振。

克拉尼声音实验的基本原理来源，是德国物理学家利希腾贝格（Georg Christoph Lichtenberg）的静电图实验（Lichtenberg figures 俗称：" 闪电花 "）：通过电击硫磺粉，使绝缘板上的粉末形成树状 " 电击雕刻的花纹 "。

克拉尼受此启发，在光滑的铜板上均匀地洒满细沙，于铜板的边缘缓缓拉动小提琴弓，奇特的一幕发生了，沙子在几秒钟内形成了聚散的线条花纹——克拉尼图形就此诞生，这一刻映照出了隐形的声音世界。

上：利希腾贝格静电图，下：克拉尼图形与实验图。 来源：wikipedia

1787 年，克拉尼完成了第一部声学著作《关于声音理论的发现（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中记录了这项实验的成果，和他绘制的大量曼妙的声音图形。

《Entdeckungen u¨die Theorie des Klanges》封面，1787 年，来源：wikipedia

部分克拉尼图形，来源：《Entdeckungen über die Theorie des Klanges》

当小提琴弓摩擦铜板使其发生弯曲形变直至共振时，板面中有保持静止状态的区域和振动状态的区域，沙子在振动作用下向表面静止的区域集中，并最终勾勒出变化多样的节点线。由于弹性板振动的理论在当时尚未出现，所以对声音图形的数学描述必须保持定性。带着这个问题，克拉尼踏上了欧洲巡讲的旅程，分享自己的声学研究并和欧洲各国的学者进行交流学习。

直到 1802 年，克拉尼又一突破性著作《声学（Die Akustik）》问世，这本书的出现使声学成为一门独立的学科，书中包含了对乐器的制作、声音的产生、传播与接收理论等全新的声学领域研究，汇编和评论了他在欧洲巡讲中发现的大量声学相关的研究成果。

《Die Akustik》封面，1802 年，来源：wikipedia

书中克拉尼对于声音图形的数学研究有了进一步的发现，他根据平行于两侧的节点线的数量对于矩形板上的图案进行分类。对于圆形板，他观察到增加节点线与增加板面的直径，都可以提高圆形板振动模式的频率，即出现克拉尼图形的圆形板表面的振动模式的频率f 与图形的直径n和径向节点线的数量m之间的关系：

对于平整的圆形板，p 大约是 2，但这个公式也可以用来描述铙钹、手铃和教堂钟的振动模式，在这类情况下，p 可以从 1.4 到 2.4 不等，其中 C 和 p 是取决于板材性质的系数。英国物理学家瑞利（Third Baron Rayleigh）在 1894 年将这个公式命名为克拉尼定律（Chladni's law）。

但是《声学（Die Akustik）》一书中仍没有涉及到如何用公式推导出这些声音图形，在书的结尾克拉尼留下了这一悬而未决的数学问题：如何建立这些声音图形的数学模型？

1809 年，克拉尼做声学巡讲到达法国巴黎时，极其重视科学的拿破仑独具慧眼，决定为此项数学研究颁发了 3000 法郎的：" 法国皇家科学院奖金 "，奖励给 "得出克拉尼声音图形中弹性物质表面振动的数学理论，并将该理论与实验数据进行比较" 的学者。

1816 年，法国数学家索菲 · 热尔曼（Sophie Germain）以一篇题为《弹性物质表面理论研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的论文，并因此成为第一位获得法国皇家科学院奖的女性。

《表面弹性理论研究》封面，1821 年，来源：wikipedia

热尔曼自 1809 年着手该论题的研究，于 1811 年秋天首次提交了论文，但没有通过，评审委员会认为 "振动的真正方程没有建立起来"，尽管 " 提出了巧妙的结果 "。

法国皇家科学院院士、著名数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在这时提出，解决这个问题需要发明一个新的数学分析分支，这使所有的参赛者望而却步，最终只剩热尔曼一人参赛。随后比赛被延长了两年，热尔曼决定再次尝试，在 1813 年化名 " 勒布朗先生 " 并提交了第二次论文，只为避免因性别而遭受不公的对待，但由于被指出论文中仍充斥着错误，尤其是涉及到二重积分的部分，遂未通过评审。紧接着热尔曼又开始了第三次尝试，最终于 1816 年 1 月 8 日，以自己作为女性的本名 " 索菲 · 热尔曼 " 提交了第三篇论文，获得了特别奖。

索菲 · 热尔曼最终的方程，来源：《表面弹性理论研究》

事实上严格的法国皇家科学院对最终的研究成果仍不满意。因为虽然热尔曼推导出了正确的微分方程，但并不能非常准确地预测实验结果，由于她用于推导方程的假设部分不正确，导致了边界条件出现错误。

在当时的社会环境下，一名女性会因为她的性别，被迫承受来自社会的压迫与不公。索菲 · 热尔曼自幼被剥夺了受教育的权利，但也正是她不屈不挠的强大毅力和对数学的极度热爱与与执着追求，给法国皇家科学院奖增添了熠熠光彩。

数学研究成果至此还没有达到尽善尽美，这场 " 接力 " 仍在继续。英国科学家惠斯通爵士（Charles Wheatstone）在 1833 年继续尝试使用正弦和余弦函数近似计算克拉尼图形。他表示，在方形和矩形板面上，无论多么复杂的克拉尼图形，都是两组或多组同步平行振动的结果；并且通过简单的几何关系，使用了 "运动叠加" 的原理，无需任何深刻的数学分析，成功地预测了特定振动模式应产生的曲线。

德国物理学家基尔霍夫（G. Kirchhoff ）在 1850 年提出了正确的数学模型，将方形板上的克拉尼图形视为双谐波算子的特征对（特征值和相应的特征方程）。他还设法解决了圆形板的特殊情况下的克拉尼图形，由于圆是轴对称图形，这个问题更容易处理，然而对于其他形状的板面，最难解决的就是其带有自由边界条件的偏微分方程的特征值问题。

瑞士物理学家沃尔特 · 里茨（Walter Bits）在 1909 年所著的开创性论文中提出了一种计算克拉尼图形的方法：不直接解决偏微分方程的特征值问题（也没有通过问题的边界条件），而是使用能量最小化原则（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出计算方程。

里茨的克拉尼图形数学解法示例，1909 年，来源：Theorie der Tra~nsversalschwinnyungem eiizer quadratischen Platte mit freien Randern

在量子力学中，克拉尼图形和其中的 "节点形态" 直至今日仍是科学界讨论的焦点——因为驻波方程、亥姆霍兹方程和定态薛定谔方程之间存在着等价关系，即粒子在有反射壁的空间中自由运动，这使得人们能够观察这种量子台球（quantum billiards）。

奥地利 - 爱尔兰物理学家薛定谔（Erwin Schrödinger）曾用克拉尼图形的数学解法来得出对电子轨道的理解。而在不规则形成的反射壁中，通过振动板对量子混沌进行观察，"节点形态" 在不同的领域里也是重要的核心：在光场、地震破坏模式、甚至在视觉皮层的模式形成中皆是如此——第 368 次 Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung 会议正是探讨这些问题。

鉴于这一发展态势，拿破仑的预言 "如果在克拉尼声音图形引申道路的探索方面能取得进一步的发展，将这些成果应用于其他领域也是大有用处的"，再回首，我们依旧折服于拿破仑的远见卓识。

在这面映照出隐形世界的镜子里，展现的不仅是奇幻稠迭的声音画像，还有曼妙又秩序严谨的数学图景，我们几乎看不到几百年的时光已悄然流逝。