数学证明克尔黑洞稳定性！丘成桐：广义相对论重大突破

机器之心报道

编辑：杜伟、陈萍

研究者此次证明的是缓慢旋转的黑洞，而快速旋转黑洞的稳定与否尚未得到证明。

提起黑洞，很多人都会想到爱因斯坦，因为是爱因斯坦在广义相对论中提出了这种神秘天体，不过在 1955 年爱因斯坦去世之前，但他并不相信宇宙中真实存在黑洞，即使是他预言了黑洞的存在。

直到 1963 年，新西兰数学家 Roy Kerr（罗伊 · 克尔）找到了爱因斯坦方程的解，该方程精确描述了旋转黑洞。在他取得这一成就后的近 60 年里，研究人员试图证明这些所谓的克尔黑洞是稳定的。

Roy Kerr。图源：DAVID HALLETT/FAIRFAX NZ

我们先来简单了解克尔黑洞，它是指不随时间变化的绕轴转动的轴对称黑洞。这类黑洞的中心是一个奇环，有内、外两个视界。内视界为黑洞奇异性的界限，而外视界则为不可逃脱的界限。这就意味，一旦你落入外视界，你不会立即被黑洞的种种奇异性摧毁，但此时你将会不可避免地落入内视界。克尔黑洞是爱因斯坦场方程预言下的一类带有角动量的黑洞。

在今年 5 月发表的一篇多达 912 页论文《 Wave equations estimates and the nonlinear stability of slowly rotating Kerr black holes 》中，来自哥伦比亚大学的 Szeftel、Elena Giorgi 和普林斯顿大学的 Sergiu Klainerman 证明了缓慢旋转的克尔黑洞确实是稳定的。

这项研究是他们多年努力的成果。早在 2021 年，Klainerman 和 Szeftel 发表过一篇 800 页的论文《 Kerr stability for small angular momentum 》，此外再加上三篇建立了各种数学工具的背景论文——论文总页数达 2100 页。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2205.14808.pdf

来自苏黎世联邦理工学院的数学家 Demetrios Christodoulou 表示，「这个新结果确实构成了广义相对论数学发展的一个里程碑。」

华人数学家丘成桐对这一项研究也同样给与很高的评价，称这项研究是自 1990 年代初以来，首个在广义相对论领域获得重大突破的研究。这一问题确实是一个非常棘手的问题，然而，新论文尚未经过同行评审。不过他们在 2021 年发表的论文已经过审，既完整又令人兴奋。

索邦大学数学家 Jérémie Szeftel 解释说，这一研究意味着如果我从一个看起来像克尔黑洞的东西开始，然后给出它 一个小碰撞，例如向它投掷一些引力波，正如你所期望的，在遥远的未来，一切都会安定下来，它会再次看起来完全像克尔解决方案。

「但是数学上的不稳定，会给理论物理学家带来难题，这意味着有必要在某些层面上修改爱因斯坦万有引力理论，」来自法国高等科学研究所的物理学家 Thibault Damour 表示。

研究概述

Giorgi 表示，稳定性问题长期以来一直悬而未决的一个原因是，爱因斯坦方程的大多数显式解，例如克尔发现的解，都是固定的。这些公式只适用于静止并且永远不会改变的黑洞，但这些不是我们在自然界中看到的黑洞。为了评估稳定性，研究人员需要让黑洞受到轻微的干扰，然后随着时间的推移描述这些物体的解决方案会发生什么变化。

论文一作、哥伦比亚大学数学系助理教授 Elena Giorgi。

我们可以想象声波撞击酒杯，会使酒杯产生稍微晃动，然后系统会稳定下来。但是，如果有人以与玻璃的共振频率完全匹配的音调大声唱歌，玻璃可能会破碎。Giorgi、Klainerman 和 Szeftel 想知道当黑洞被引力波撞击时，是否会发生类似的共振现象。

他们考虑了几种可能的结果。例如，引力波可能会穿过克尔黑洞视界（即事件穹界，亦称事像地平面，是一种时空的曲隔界线，指的是在事界以外的观察者无法利用任何物理方法获得事界以内的任何事件的资讯，或者受到事界以内事件的影响。）并进入内部。这时黑洞的质量和旋转可能会略有改变，但该物体仍将是一个由克尔方程表征的黑洞。或者，引力波可能会在黑洞周围旋转，然后消散，就像大多数声波在遇到酒杯后消散一样。

不过引力波可能会聚集在黑洞视界之外，并将它们的能量集中到一个单独的奇点。黑洞外的时空将被严重扭曲，以至于克尔解决方案将不再有效。

三位研究者依赖的策略被称为反证法，以前也在相关工作中使用过。大致思路是这样的：研究者假设与他们自己试图证明的相反，即克尔解决方案不会永远存在，这就意味着在一个最长时间之后就会失效。

然后，Giorgi 表示，他们使用了一些数学技巧，即对偏微分方程的分析，这是广义论的核心，将克尔解决方案扩展到声称的最长时间之外。换言之，研究者证明了，无论最长时间的值是多少，它总是可以被扩展的。因此，研究者最初的假设是矛盾的，也就意味着猜想本身一定是正确的。

Klainerman 强调称，他及其同事的研究是建立在其他人的工作之上。此前曾出现过四次认真的尝试，他们的成功是幸运的。因而，他将这项新的贡献视为「整个领域的胜利」。

未来设想

到目前为止，仅证明了缓慢旋转黑洞的稳定性，其中黑洞的角动量与质量的比值远小于 1。快速旋转黑洞的稳定与否尚未得到证明。此外，研究者并没有准确地确定角动量与质量的比值为「多小」时才能保证稳定性。

鉴于他们的长期证明中只有一步是建立在低角动量的假设上，因而 Klainerman 表示，如果到本世纪末完全解决克尔稳定性猜想，他一点也不感到惊讶。

不过，Giorgi 并不那么乐观。她认为，该假设只适用于一个案例，虽然它是非常重要的案例。要克服这一局限还需要做很多工作，因而她不确定谁能接手解决或者什么时候成功。

在这一问题之外，是一个被称为终态猜想（final state conjecture）的更大问题。根据该猜想的基本定义，如果我们等待足够长的时间，宇宙将演变成有限数量的相互远离的克尔黑洞。终态猜想取决于克尔稳定性以及其它极具挑战性的子猜想。

对于终态猜想，Giorgi 承认完全不知道如何去证明。对于某些人来说，这可能听起来很悲观。但是，它也说明了克尔黑洞的一个基本事实，即注定要在未来几年甚至几十年内引起数学家的关注。