我们能听出鼓的形状吗？

之前我们在每周直播整活环节弄了一期 " 声之形 "，即看见声音的形状，在那里我们尝试看见了一维超声波发生器形成的驻波，也看见了二维金属板上形成的驻波（即克拉尼图形）。

超声波声悬浮示意图，图源网络

克拉尼图形，图源网络

但无论怎样，都是先固定了装置的几何形状，再去考虑这个几何形状上能够产生怎样的声音 ( 振动 ) ，那么一些脑洞大开的人可能会问：这个问题反过来会怎样呢？我们能够通过声音来判断发声装置的几何形状吗？

事实上，这个问题有一个更加简练，更加广为流传的版本：我们能听出鼓的形状吗？ ( Can one hear the shape of a drum？ ) 而这也是数学家 Mac Kac 于 1966 年那篇著名的文章的标题。为了从数学上考虑这个问题，我们必须把问题重新表述一下。

什么是鼓？

首先，一个鼓面的振动由什么方程描述？我们可以想象一下，把一个膜拉伸套在一个刚性支架上，这样就形成了一张二维的鼓。这张二维的鼓的振动是由波动方程描述的，同时因为鼓面的边缘牢牢地贴在刚性的架子上，我们可以认为波动方程的边界条件是狄利克雷边界条件。如果我们用函数 F ( x,y,t ) 来描述鼓面处于位置 ( x,y ) 处的点在 t 时刻于 z 方向的偏移量，那么鼓面的波动方程就可以写为，

分离变量 F=U*exp ( iωt ) ，化成本征值问题

其中 U ( x,y ) 是鼓在 z 方向的偏移量，v 是鼓面的波速，在这里是一个无关紧要的常数。ω 是振动频率，Γ 是鼓的边界。为了简化我们的记号，我们可以认为我们研究的方程具有如下形式：

其中 Ω 表示鼓的内部，λ 是拉普拉斯算子的本征值，与之前提到的鼓的本征频率是一一对应的。那么，数学上 " 听鼓辨形 " 则可以表达为，如果我们已知某面鼓的所有本征值，我们能否唯一地确定鼓的形状 Ω 和 Γ。

所以数学家提出的问题是，如果我们知道了一张鼓的所有振动频率，我们能唯一地确定鼓的形状吗？

鼓的面积

在揭晓答案之前，让我们将目光放在 Kac 1966 年的文章中，去看看一些物理上的直觉能够给我们带来哪些有意思的结果？正如 Kac 在他的文章里提到的那样，类似拉普拉斯算子在某个区域内的本征值问题最早可以追溯到 Weyl 那个年代，如果我们给定一个 λ，考虑本征值小于 λ 的个数，即考虑函数

Weyl 证明了当 λ → ∞ 时，

这意味着如果我们知道了鼓的所有本征频率，我们至少可以知道鼓的面积。让我们稍微仔细观察一下 Weyl 得到的结果，拉普拉斯算子在一个鼓上的本征值的分布，当本征值很大时，分布在区间 [ λ,λ+dλ ] 内的本征值的个数正比于鼓的面积，而与 λ 无关，与鼓的形状也无关。

接下来，我将展示我们可以用一种物理类比来 " 论证 "Weyl 证明的定理。首先，我想强调一点，数学上 " 听鼓辨形 " 问题其实是拉普拉斯算子在一个区域内的本征值问题，它不仅仅出现在波动方程中，还出现在量子力学里的 Schrödinger 方程以及扩散方程中。在这些不同的物理问题中，扩散问题最容易为我们提供关于拉普拉斯算子本征值分布的物理直觉，因而我们这里想重点展示一下如何从扩散方程中汲取灵感来得到 " 听鼓辨形 " 问题的部分答案。

首先，扩散方程是描述扩散现象的偏微分方程，而扩散现象大致就是在说，随着时间的推移，物质会自发地从浓度高的地方往浓度低的地方进行扩散，如果我们用函数

来描述物质在时刻 t，位置 r 处的浓度，那么这个函数将满足扩散方程：

并有边界条件

以及初始条件

通过分离变量我们可以得到我们熟悉的本征值问题

以及

现在，从直观上讲，对于非常小的时间 t，扩散物质的粒子没有足够的时间来感受边界 Γ 的影响。因此，我们期望有

其中

仍然满足相同的扩散方程以及相同的初始条件，但这次没有其他条件的限制 ( 如边界条件的限制 ) ，唯一需要满足的就是物质的浓度需要处处大于等于 0，即 P ≥0。

在这种情况下，关于 P 的显示表达式就是著名的高斯分布，

故而根据我们在上面的论断，当 t → 0 时，应当有

如果这个公式在位置 r=ρ 处也是正确的话，我们就可以得到

如果我们更进一步，对上式两边进行积分，利用归一化条件

可得

注意到上式还可以写成如下形式，

其中

那么这个时候如果我们应用 Hardy-Littlewood Karamata Tauberian 定理 ( 这个定理的内容将在文末进行说明 ) ，我们就可以得到

而这正是 Weyl 的结果 ( Γ ( 2 ) =1 ) 。

以上只是基于物理的类比给出的并不严格的论证，当然我们可以用数学语言将上面的这些论述严格化，但这超出了本文的目标，感兴趣的读者可以直接阅读 Kac 的原文。总之，我们现在至少可以确认我们能够听出鼓的面积。

其他信息呢

但我们能够听出更多的信息吗？事实上，我们可以利用同样的类比继续考虑这件事情，假设在扩散问题中，物质一开始集中的地方非常靠近边界，即我们的初始条件里的 ρ 非常靠近区域的边界，那么此时在开始非常短的时间 t 内，一条直线构成的边界条件应当是非常好的近似 ( 如下方左图所示 ) ，

于是我们可以得到，

其中 Pl ( ρ ) 是 l ( ρ ) 以直线作为边界条件得到的解，而

其中 δ 是 ρ 到边界 Γ 的最短距离。对于积分而言，上式中指数衰减那一项将只有非常靠近边界的区域才会有所贡献，稍加计算，可以得到如下公式，

右边第一项是我们一开始得到的结果，而指数衰减那一项能够告诉我们边界的周长信息，也就是说，我们可以听出鼓的周长！

我们还能听出更多的东西吗？事实上，对于凸多边形鼓，Kac 得到了如下公式，

其中 θ 是多边形的每一个角度。如果这个多边形有 N 条边，并且如果我们让 N → ∞ 使得每一个 θ → π，那么上式的常数项将变成

这似乎在说光滑的鼓给出的常数项都是一样的，我们没法通过常数项对鼓进行区分。复连通的鼓会怎样呢？如果我们让所有多边形都接近平滑曲线，结果是常数项将变成 ( 1-r ) 1/6，其中 r 是鼓面上洞的个数。因此，可以很自然地推测，对于具有 r 个光滑洞的光滑鼓，我们有

也就是说我们还可以听出鼓的拓扑 ( 即鼓面洞的个数 ) ！

以上便是 Kac 1966 年的文章里的主要结论了，在这篇文章中 Kac 也表明他还不清楚 " 听鼓辨形 " 的终极答案。直到 1992 年，Carolyn Gordon、David Webb 和 Scott Wolpert 根据 Sunada 方法在平面上构造了一对形状不同但特征值相同的区域。这些区域是凹多边形。两个区域具有相同特征值的证明使用了拉普拉斯算子的对称性。Buser 等人对这一思想进行了推广，他们构建了许多类似的例子。因此，Kac 问题的答案是：对于许多形状，人们无法完全听出鼓的形状。然而，正如 Kac 最初的文章那样，我们可以推断出一些鼓的信息。

另一方面，Steve Zelditch 证明了，如果对具有解析边界的某些凸平面区域施加限制，则 Kac 问题的答案是肯定的。

Gordon、Webb、Wolpert 构造的反例，两个不同形状的鼓具有完全相同的本征频率。注意到这两个鼓具有相同的面积和周长。 [ 3 ]

在实际中，由于鼓的音色是由本征振动模式的相对振幅集决定的，因此仅仅拥有一组完全相同的本征频率并不足以让两个鼓听起来相同。对于每个本征模，它们还需要具有相同的相对振幅，这在实际中可能并不容易实现。

此外，人们无法直接听到鼓 ( 鼓膜 ) 的振动。相反，我们的耳朵听的是空气中声波的振动，所以我们还需要考虑声音的传播 …… 这将变得更加复杂。因此，在实际生活中，似乎很难找到两个声音相同的不同鼓。

数学补充

Hardy-Littlewood Karamata Tauberian 定理，当 y → 0+ 时，数列 an 以下的两个渐进行为将是等价的，

Feller 推导出关于这个定理的更一般的形式，考虑有界变差的实值函数

（这里，仅局部需要有界变差：即在 [ 0,∞ ) 上的每个有界子区间上满足有界变差即可。然而，此时需要对变换的收敛性进行更复杂的附加假设。）定义：

该定理以以下方式将 ω 的渐近性与 F 的渐近性联系起来。如果 ρ 是非负实数，则以下陈述是等价的。